Question

11．已知向量$\overrightarrow{m}$=（a，b²-b+$\frac{7}{3}$），$\overrightarrow{n}$=（a+b+2，1），$\overrightarrow{μ}$=（2，1）．
（1）若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{μ}$，求a的最小值；
（2）求證：$\overrightarrow{m}$ 與$\overrightarrow{n}$的夾角不是鈍角．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{μ}$，利用向量平行的性質(zhì)得到a=2（$^{2}-b+\frac{7}{3}$）=2（$b-\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{6}$，由此能求出a的最小值．
（2）利用向量的數(shù)量積求出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=${a}^{2}+（b+2）a+^{2}-b+\frac{7}{3}$，從而$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$是關(guān)于a的二次函數(shù)，利用根的差別式推導(dǎo)出$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$≥0恒成立，由此能證明$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的夾角不是鈍角．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{m}$=（a，b²-b+$\frac{7}{3}$），$\overrightarrow{μ}$=（2，1），$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{μ}$，
∴由題意得a=2（$^{2}-b+\frac{7}{3}$）=2（$b-\frac{1}{2}$）²+$\frac{25}{6}$，
∴當(dāng)b=$\frac{1}{2}$時，a取最小值a_min=$\frac{25}{6}$．
證明：（2）∵向量$\overrightarrow{m}$=（a，b²-b+$\frac{7}{3}$），$\overrightarrow{n}$=（a+b+2，1），
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=a（a+b+2）+$^{2}-b+\frac{7}{3}$
=${a}^{2}+（b+2）a+^{2}-b+\frac{7}{3}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$是關(guān)于a的二次函數(shù)，
∵$△=（b+2）^{2}-4（^{2}-b+\frac{7}{3}）$=-3b²+8b-$\frac{16}{3}$=-3（b-$\frac{4}{3}$）²≤0，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$≥0恒成立，
故$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$的夾角不是鈍角．

點評 本題考查實數(shù)的最小值的求法，考查兩向量的夾角不是鈍角的證明，考查向量平行、向量的數(shù)量積、二次函數(shù)、根的判別式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．