Question

2．如圖，圓錐的橫截面為等邊三角形SAB，O為底面圓圓心，Q為底面圓周上一點(diǎn)．
（Ⅰ）如果BQ的中點(diǎn)為C，OH⊥SC，求證：OH⊥平面SBQ；
（Ⅱ）如果∠AOQ=60°，QB=2$\sqrt{3}$，設(shè)二面角A-SB-Q的大小為θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)OC、AQ，推導(dǎo)出OC∥AQ，OC⊥BQ，SO⊥BQ，從而QB⊥平面SOC，進(jìn)而OH⊥BQ，由此能證明OH⊥平面SBQ．
（Ⅱ）以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，在平面ABC內(nèi)過O作AB的垂線為y軸，OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出cosθ．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)OC、AQ，
∵O為AB的中點(diǎn)，BQ的中點(diǎn)為C，
∴OC∥AQ，
∵AB為圓的直徑，∠AQB=90°，∴OC⊥BQ，
∵SO⊥平面ABQ，SO⊥BQ，QB⊥平面SOC，
OH⊥BQ，
∴OH⊥平面SBQ．
解：（Ⅱ）由已知得QC=$\sqrt{3}$，OQ=2，OC=1，SO=2$\sqrt{3}$，
以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，在平面ABC內(nèi)過O作AB的垂線為y軸，
OS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（2，0，0），B（-2，0，0），S（0，0，2$\sqrt{3}$），Q（1，$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{BS}$=（2，0，2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{BQ}$=（3，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BS}=2x+2\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BQ}=3x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（-$\sqrt{3}$，3，1），
而平面SAB的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
∴cosθ=$\frac{3}{\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．