(2011•惠州模擬)已知點P是圓F1:(x+1)2+y2=8上任意一點,點F2與點F1關(guān)于原點對稱.線段PF2的中垂線m分別與PF1、PF2交于M、N兩點.
(1)求點M的軌跡C的方程;
(2)斜率為k的直線l與曲線C交于P,Q兩點,若
OP
OQ
=0
(O為坐標原點),試求直線l在y軸上截距的取值范圍.
分析:(1)由題意判斷點M的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,進而可求點M的軌跡C的方程;
(2)設直線l的方程為y=kx+n,代入橢圓方程,利用△>0及韋達定理,
OP
OQ
=0
,即可求得直線l在y軸上截距的取值范圍.
解答:解:(1)由題意得,F(xiàn)1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),圓F1的半徑為2
2
,且|MF2|=|MP|…(1分)
從而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=2
2
>|F1F2|

(3分)
∴點M的軌跡是以F1,F(xiàn)2為焦點的橢圓,…(5分)
其中長軸2a=2
2
,得到a=
2
,焦距2c=2,∴短半軸b=1
∴橢圓方程為:
x2
2
+y2=1

(6分)
(2)設直線l的方程為y=kx+n,由
y=kx+n
x2
2
+y2=1
,消元可得(2k2+1)x2+4knx+2n2-2=0
則△=16k2n2-8(n2-1)(2k2+1)>0,即2k2-n2+1>0①…(8分)
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=
-4kn
2k2+1
,x1x2=
2n2-2
2k2+1

OP
OQ
=0
可得x1x2+y1y2=0,即x1x2+(kx1+n)(kx2+n)=0…(10分)
整理可得(k2+1)x1x2+kn(x1+x2)+n2=0
(12分)
(k2+1)(2n2-2)
2k2+1
+kn•(
-4kn
2k2+1
)+n2=0

化簡可得3n2=2k2+2,代入①整理可得n2
1
2
,
故直線l在y軸上截距的取值范圍是(-∞,-
2
2
)∪(
2
2
,+∞)
.    …(14分)
點評:本題考查橢圓的定義,考查橢圓的標準方程,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義,聯(lián)立直線與橢圓方程,屬于中檔題.
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