Question

13．在△ABC中，已知三條邊上的高線長分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{7}$，則△ABC的最大內(nèi)角為（　�。�

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． $\frac{3π}{4}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由題意設(shè)三條高對應(yīng)的三角形邊長分別為：a，b，c，則由三角形面積公式可得：$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×$a=$\frac{1}{2}×\frac{1}{5}×$b=$\frac{1}{2}×\frac{1}{7}×c$，化簡可得：35a=21b=15c，得b=$\frac{35a}{21}$，c=$\frac{35a}{15}$，C為三角形最大內(nèi)角，利用余弦定理可求cosC=-$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍C∈（0，π），即可解得C的值．

解答 解：∵在△ABC中，已知三條邊上的高線長分別為$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{7}$，
∴設(shè)三條高對應(yīng)的三角形邊長分別為：a，b，c，則由三角形面積公式可得：$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×$a=$\frac{1}{2}×\frac{1}{5}×$b=$\frac{1}{2}×\frac{1}{7}×c$，化簡可得：35a=21b=15c，
∴解得：b=$\frac{35a}{21}$，c=$\frac{35a}{15}$，C為三角形最大內(nèi)角，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+（\frac{35a}{21}）^{2}-（\frac{35a}{15}）^{2}}{2×a×\frac{35a}{21}}$=-$\frac{1}{2}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，特殊角的三角函數(shù)值在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．