【題目】已知橢圓 的左右頂點分別為A，B，點P為橢圓上異于A，B的任意一點．
（Ⅰ）求直線PA與PB的斜率之積；
（Ⅱ）過點 作與x軸不重合的任意直線交橢圓E于M，N兩點．證明：以MN為直徑的圓恒過點A．

【答案】解：（Ⅰ） ．設(shè)點P（x，y）（y≠0），則有 ，即 ，

∴ =

（Ⅱ）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

∵MN與x軸不重合，

∴設(shè)直線 ，

由 化簡得，

；

由題意可知△＞0成立，且 ；

= ；

將 代入上式并化簡得，

．

∴AM⊥AN，即以MN為直徑的圓恒過點A


【解析】（Ⅰ）根據(jù)已知條件得到兩個直線的斜率再將兩個式子的乘積轉(zhuǎn)化為已知的形式進而求得結(jié)果。（Ⅱ）由已知通過向量數(shù)量積為零證明兩條直線垂直從而得到以MN為直徑的圓恒過直線外的一點A。

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若g（x）=xf（x）+mx在區(qū)間（0，e]上的最大值為﹣3，求m的值；
（3）若x≥1時，有不等式f（x）≥ 恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定義域為R的函數(shù) 是奇函數(shù)．
（1）求a，b的值；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）<0恒成立，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2﹣3x在x=±1處取得極值
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求證：對于區(qū)間[﹣1，1]上任意兩個自變量的值x1 ， x2 ， 都有|f（x1）﹣f（x2）|≤4；
（3）若過點A（1，m）（m≠﹣2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)p：實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2＜0（a＞0）；命題q：實數(shù)x滿足
（1）若a=1，且“p且q”為真，求實數(shù)x的取值范圍
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=lnx+ x2 ．
（1）求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（2）設(shè)P為曲線f（x）上的點，求曲線C在點P處切線的斜率的最小值及傾斜角α的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且acosB=4，bsinA=3．
（1）求tanB及邊長a的值；
（2）若△ABC的面積S=9，求△ABC的周長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2sinA﹣cosB=2sinBcosC，且角B為鈍角．
（1）求角C的大�。�
（2）若a=2，b2+c2﹣a2= bc，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1= ．
（1）證明：數(shù)列{a2n﹣ }是等比數(shù)列；
（2）求a2n及a2n﹣1 ．

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