Question

（本小題滿分12分）如圖, 四棱柱的底面ABCD是正方形,為底面中心,平面,．

（1）證明：；

（2）證明: 平面平面

（3）求三棱柱的體積．

 

Answer 1

（1）詳見解析;（2）詳見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由題意BD⊥AC ，因為A1O⊥平面ABCD可知A1O⊥BD ，可證BD⊥面A1AC即可證明結(jié)論；（2）由于A1B1∥AB ，AB∥CD，可得A1B1∥CD，又A1B1=CD，可得四邊形A1B1CD是平行四邊形

所以A1D∥B1C， 同理可證A1B∥CD1，利用面面平行判定定理即可證明結(jié)結(jié)論； （3） 由于A1O⊥面ABCD 故A1O是三棱柱A1B1D1-ABD的高．又在RT△A1OA中，AA1=2，AO = 1 ，可得A1O=,

根據(jù)柱體體積公式即可求出三棱柱ABD-A1B1D1的體積．

試題解析：（1）證明：∵底面ABCD是正方形 ∴BD⊥AC

又∵A1O⊥平面ABCD BD?面ABCD ∴A1O⊥BD

又∵A1O∩AC=O A1O?面A1AC，AC?面A1AC

∴BD⊥面A1AC AA1?面A1AC

∴AA1⊥BD 4分

（2）∵A1B1∥AB AB∥CD ∴A1B1∥CD 又A1B1=CD ∴四邊形A1B1CD是平行四邊形

∴A1D∥B1C 同理A1B∥CD1

∵A1B?平面A1BD, A1D ?平面A1BD, CD1?平面CD1B1, B1C?平面CD1B

且A1B∩ A1D=A1 CD1∩B1C=C

∴平面A1BD // 平面CD1B1 8分

（3） ∵A1O⊥面ABCD ∴A1O是三棱柱A1B1D1-ABD的高．

在正方形AB CD中,AO = 1 ．在RT△A1OA中，AA1=2，AO = 1 ∴A1O=

∴

所以, 三棱柱ABD-A1B1D1的體積為． 12分．

考點：1．線面垂直的判定；2．面面平行的判定；3．柱體的體積公式．