Question

已知四面體P-ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=AB，若四面體P-ABC的體積為，則該球的體積為

1. A.
   
2. B.
   2π
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：設(shè)該球的半徑為R，則AB=2R，2AC=AB=，故AC=R，由于AB是球的直徑，所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC，由此能求出球的體積．
解答：設(shè)該球的半徑為R，
則AB=2R，2AC=AB=，
∴AC=R，
由于AB是球的直徑，
所以△ABC在大圓所在平面內(nèi)且有AC⊥BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：
BC²=AB²-AC²=R²，
所以Rt△ABC面積S=×BC×AC=，
又PO⊥平面ABC，且PO=R，四面體P-ABC的體積為，
∴V_P-ABC==，
即R³=9，R³=3，
所以：球的體積V_球=×πR³=×π×3=4π．
故選D．
點評：本題考查四面體的外接球的體積的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．