Question

已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₄=20，a₃=8．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=a_n•log 

1

2

a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的正整數(shù)n的最小值．

Answer 1

考點：等比數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，利用單調(diào)遞增的等比數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₄=20，a₃=8，建立方程，求出首項與公比，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）確定數(shù)列的通項，利用錯位相減求和，結(jié)合S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立，即可求出正整數(shù)n的最小值．

解答： 解：（I）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
依題意，有

a1q+a1q3=20 a1q2=8.

，解之得

a1=2 q=2

或

a1=32 q= 1 2

又?jǐn)?shù)列{a_n}單調(diào)遞增，∴

a1=2 q=2

，∴a_n=2ⁿ．…（6分）
（Ⅱ）依題意，b_n=a_n•log 

1

2

a_n=-n•2ⁿ，
∴-S_n=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①，-2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
由①-②得：S_n=2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹…（8分）
=2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹-2…（10分）
∵S_n+n•2ⁿ⁺¹＞50
∴（1-n）•2ⁿ⁺¹-2+n•2ⁿ⁺¹＞50
∴2ⁿ⁺¹＞52
∴最小正整數(shù)n的值為5．

點評：本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式及通項公式的應(yīng)用，錯位相減求和方法的應(yīng)用，及指數(shù)不等式的求解．