Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別是AB，PD的中點(diǎn)，且PA=AB=2．
（1）求證：PB∥平面AFC；
（2）求點(diǎn)E到平面FAC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OF，由已知得OF∥PB，由此能證明PB∥平面AFC．
（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)E到平面FAC的距離．

解答： （1）證明：連結(jié)AC，BD，交于點(diǎn)O，連結(jié)OF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴O是BD中點(diǎn)，又E是PD中點(diǎn)，
∴OF∥PB，
∵OF?平面AFC，PB?平面AFC，
∴PB∥平面AFC．
（2）解：以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
E（1，0，0），（0，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），
D（0，2，0），F(xiàn)（0，1，1），

AE

=（1，0，0），

AF

=（0，1，1），

AC

=（2，2，0），
設(shè)平面AFC的法向量

n

=（x，y，z），
則

n • AF =y+z=0 n • AC =2x+2y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，1），
則點(diǎn)E到平面FAC的距離d=

| n • AE |

| n |

=

|1+0+0|

3

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．