Question

【題目】如圖，已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 =1（b＞0）有一個(gè)內(nèi)含圓x2+y2= ，該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點(diǎn)M，N，且 ⊥ （O為原點(diǎn)）．

（1）求b的值；
（2）設(shè)內(nèi)含圓的任意切線l交橢圓于點(diǎn)A、B．求證： ，并求| |的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)MN⊥x軸時(shí)，MN的方程是x=± ，

設(shè)M（± ，y1），N（± ，﹣y1），

由 ⊥ 知|y1|= ，

即點(diǎn)（ ， ）在橢圓上，代入橢圓方程得b=2

（2）證明：當(dāng)l⊥x軸時(shí)，由（1）知 ；

當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)l的方程是：y=kx+m，即kx﹣y+m=0

則 = ，即3m2=8（1+k2）

y=kx+m代入橢圓方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，

△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）= （4k2+1）＞0，

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）

則x1+x2= ，x1x2= ，

所以x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2= =0，即 ．

即橢圓的內(nèi)含圓x2+y2= 的任意切線l交橢圓于點(diǎn)A、B時(shí)總有 ．

當(dāng)l⊥x軸時(shí)，易知|AB|=2 =

當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，|AB|= =

設(shè)t=1+2k2∈[1，+∞）， ∈（0，1]

則|AB|= =

所以當(dāng) = 即k=± 時(shí)|AB|取最大值2 ，

當(dāng) =1即k=0時(shí)|AB|取最小值 ，

綜上|AB|∈

【解析】（1）設(shè)出M，N的坐標(biāo)，利用 ⊥ 知|y1|= ，即點(diǎn)（ ， ）在橢圓上，代入橢圓方程，即可求b的值；（2）分類(lèi)討論，當(dāng)l⊥x軸時(shí)，由（1）知 ；當(dāng)l不與x軸垂直時(shí)，設(shè)l的方程是：y=kx+m，代入橢圓方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，利用韋達(dá)定理證明x1x2+y1y2=0即可，利用弦長(zhǎng)公式，結(jié)合換元、配方法，即可確定|AB|的取值范圍．