Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sin2x+4cos2x-3
（Ⅰ）將函數(shù)化為f（x）=Msin（2x+φ）+h的形式（其中M＞0，0＜φ＜

π

2

）；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C所對的邊，且對f（x）定義域中任意的x都有f（x）≤f（A），若a=2，求

AB

•

AC

的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將f（x）解析式第二項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)即可；
（Ⅱ）由正弦函數(shù)的值域求出f（x）的值域，確定出f（x）的最大值，由f（x）≤f（A）恒成立，得到f（A）等于f（x）的最大值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，確定出sinA與cosA的值，再由a的值，利用余弦定理列出關(guān)于b與c的關(guān)系式，利用基本不等式求出bc的最大值，利用平面向量的數(shù)量積表示出所求的式子，將cosA及bc的最大值代入即可求出所求式子的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=2

3

sin2x+4×

1+cos2x

2

-3
=2

3

sin2x+2cos2x-1
=4sin（2x+

π

6

）-1；
（Ⅱ）∵f（x）≤f（A）恒成立，且-5≤f（x）≤3，
∴f（A）=4sin（2A+

π

6

）-1=[f（x）]_max=3，即sin（2A+

π

6

）=1，
∵A∈（0，π），∴2A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

6

，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，得4=b²+c²-

3

bc，
∵b²+c²≥2bc，∴bc≤8+4

3

，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號，
∴

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|•cosA=

3

2

bc≤

3

2

（8+4

3

）=6+4

3

，
則（

AB

•

AC

）_max=6+4

3

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，恒成立問題，余弦定理，基本不等式，平面向量的數(shù)量積運算，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．