Question

在數(shù)列{a_n}、{b_n}中，{a_n}的前n項和為S_n，點(diǎn)（b_n，n）、（n，S_n）分別在函數(shù)y=log₂x及函數(shù)y=x²+2x的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）依題意，n=log₂b_n，n=S_n²+2S_n，可求得bn=2n，Sn=n2+2n從而求得：a_n=2n+1；
（Ⅱ）先求出cn=an•bn=(2n+1)•2n，從而可求出T_n，2T_n，然后做差后即可求得數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）點(diǎn)（b_n，n）、（n，S_n）分別在函數(shù)y=log₂x及函數(shù)y=x²+2x的圖象上
依題意，n=log₂b_n，n=S_n²+2S_n，可求得bn=2n，Sn=n2+2n
從而求得：a_n=2n+1．
（Ⅱ）cn=an•bn=(2n+1)•2n
Tn=3•21+5•22+7•23+…+(2n+1)•2n①
2Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n+1)•2n+1②
①-②得：

-Tn=3•21+2•22+2•23+…+2•2n-(2n+1)•2n+1   =2+2(2+22+23+…+2n)-(2n+1)•2n+1   =2+2• 2(1-2n) 1-2 -(2n+1)•2n+1…(10分)

∴Tn=(2n-1)2n+1+2，(n∈N*)

點(diǎn)評：本題主要考察了數(shù)列的求和，數(shù)列通項公式的求法，屬于中檔題．