Question

4．如圖，空間四邊形的各邊和對(duì)角線長(zhǎng)均相等，E 是 BC 的中點(diǎn)，那么（　�。�

• A． $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$＜$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$
• B． $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$
• C． $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$＞$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$
• D． $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BC}$與 $\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{CD}$不能比較大小

Answer 1

分析 求出向量的夾角，計(jì)算出$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$和$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$即可得出答案．

解答 解：△ABC是等邊三角形，E是BC的中點(diǎn)，
∴AE⊥BC，∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}=0$．
取BD的中點(diǎn)F，連接AF，EF，
設(shè)三棱錐的棱長(zhǎng)為1，則AE=AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，EF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$，
∴cos∠AEF=$\frac{A{E}^{2}+E{F}^{2}-A{F}^{2}}{2AE•EF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CD}$＞=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}×1×（-\frac{\sqrt{3}}{3}）$=-$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BC}$＞$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CD}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．