Question

12．如圖1，在△ABC中，AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是AB邊的中點，現(xiàn)把△ACP沿CP折成如圖2所示的三棱錐A-BCP，使得AB=$\sqrt{10}$．
（1）求證：平面ACP⊥平面BCP；
（2）求二面角B-AC-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）在圖1中作AE⊥CP，交CO于O，連接OB，計算OC，OA，利用余弦定理計算OB，在圖2中由勾股定理的逆定理得出AO⊥OB，結(jié)合AO⊥CP即可得出AO⊥平面BCP，從而有平面ACP⊥平面BCP；
（2）可如圖建立空間直角坐標系，求得平面ACP的法向量為$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）和平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，3，1），則所求角的余弦值為|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|．

解答 證明：（1）在圖1中作AE⊥CP，交CO于O，連接OB，
∵AC=2，∠ACB=90°，∠ABC=30°，P是AB邊的中點，
∴BC=2$\sqrt{3}$，AB=4，AP=$\frac{1}{2}$AB=2，CP=$\frac{1}{2}$AB=2，
∴△ACP是等邊三角形，∴AO=$\sqrt{3}$，OC=$\frac{1}{2}$CP=1，AO⊥CP．
在△OBC中，由余弦定理得OB²=1²+（2$\sqrt{3}$）²-2×$1×2\sqrt{3}$cos30°=7，
在圖2中，∵AB=$\sqrt{10}$，∴AO²+OB²=AB²，∴AO⊥OB．
又CP?平面BCP，BC?平面BCP，CP∩BC=C，
∴AO⊥平面BCP，又AO?平面ACP，
∴平面ACP⊥平面BCP．
解：（2）以O(shè)為原點，以O(shè)C、OE、OA為坐標軸建立空間直角坐標系O-xyz，如圖所示：
則A（0，0，$\sqrt{3}$），C（1，0，0），E（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，0），
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AE}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-$\sqrt{3}$），
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{m}=0}\\{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{m}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}z=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{3}y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，令z=1得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，3，1），
∵OE⊥平面ACP，∴$\overrightarrow{n}$=（0，1，0）為平面ACP的一個法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{13}}$=$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．
由圖可知二面角B-AC-P為銳角，
∴二面角B-AC-P的余弦值為$\frac{3\sqrt{13}}{13}$．

點評 本題考查了面面垂直的判定，空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．