Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，x≤1}\\{（x-1）^{2}+a，x＞1}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的函數(shù)g（x）=xf（x）-$\frac{1}{2}$只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 分類討論可知g（x）在[0，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，故g（x）在（1，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)，從而再分析解得．

解答 解：當(dāng)x≤1時(shí)，
g（x）=x•2^x-$\frac{1}{2}$，
當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＜0，
當(dāng)x=0時(shí)，g（x）=-$\frac{1}{2}$＜0，
當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=2-$\frac{1}{2}$＞0，
且g（x）在[0，1]上連續(xù)遞增，
故g（x）在[0，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
故g（x）在（1，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn)，
結(jié)合f（x）=（x-1）²+a，
故g（x）=x（（x-1）²+a）-$\frac{1}{2}$，
故g（1）=a-$\frac{1}{2}$≥0，
故a≥$\frac{1}{2}$，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的四則運(yùn)算的應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用．