Question

16．設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知a₁=2，對(duì)任意n∈N^*，都有2S_n=（n+1）a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{$\frac{4}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，求證：$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

Answer 1

分析 （I）2S_n=（n+1）a_n，當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=na_n-1，可得$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$，可得a_n．
（II）$\frac{4}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{4}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．利用“裂項(xiàng)求和”與數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 （I）解：∵2S_n=（n+1）a_n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，2S_n-1=na_n-1，可得2a_n=（n+1）a_n-na_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$，
∴a_n=2n．
（II）證明：$\frac{4}{{a}_{n}（{a}_{n}+2）}$=$\frac{4}{2n（2n+2）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）$+$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{2}$=T₁≤T_n＜1，
∴$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．