Question

用二項式定理證明：
（1）3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除（n∈N）；
（2）2ⁿ＞n²（n≥5）．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：二項式定理

分析：（1）3²ⁿ⁺²=9ⁿ⁺¹=（8+1）ⁿ⁺¹展開式中按照8的降冪排列，前邊的項均能被64整除，最后兩項為C_n+1¹8+1=8n+9，與原式中的-8n-9抵消，分析可得答案．
（2）由于n-2≥3，由二項式定理可得2^n-2＞（n-1）+

(n-2)(n-3)

2

，從而得到2ⁿ-n²=4•2^n-2-n²＞4[（n-1）+

(n-2)(n-3)

2

]-n²=（n-3）²-1．根據(jù)函數(shù)f（n）=（n-3）²-1在（3，+∞）上單調(diào)遞增，可得當n≥5時，f（n）≥f（5）=3＞0，從而證得結(jié)論．

解答： 解：（1）證明：3²ⁿ⁺²-8n-9=9ⁿ⁺¹-8n-9=（8+1）ⁿ⁺¹-8n-9
=8ⁿ⁺¹+C_n+1¹•8ⁿ++C_n+1ⁿ•8+1-8n-9=8ⁿ⁺¹+C_n+1¹•8ⁿ++C_n+1^n-1•8² =8²（8^n-1+C_n+1¹•8^n-2++C_n+1^n-1），
∵8^n-1+C_n+1¹•8^n-2++C_n+1^n-1是整數(shù)，∴3²ⁿ⁺²-8n-9能被64整除．
（2）證明：∵n≥5，∴n-2≥3，
由二項式定理可得2^n-2=（1+1）^n-2=1+（n-2）+

(n-2)(n-3)

2

+…+

C

n-2 n-2

＞（n-1）+

(n-2)(n-3)

2

．
∵2ⁿ-n²=4•2^n-2-n²＞4[（n-1）+

(n-2)(n-3)

2

]-n²=n²-6n+8=（n-3）²-1．
由于函數(shù)f（n）=（n-3）²-1在（3，+∞）上單調(diào)遞增，∴當n≥5時，f（n）≥f（5）=3＞0，
∴n≥5時，2ⁿ＞n²．

點評：本題考查二項式定理的應用：處理整除問題，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于基礎題．