Question

已知函數f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求f（

π

6

）的值；
（Ⅱ）求f（x）在閉區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考點：三角函數中的恒等變換應用,三角函數的最值

專題：三角函數的求值,三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ首先通過函數關系式的恒等變換求出函數的正弦形式，進一步利用函數的周期確定函數的解析式．
（Ⅱ）進一步利用函數的單調性確定函數的最值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

3

cos²ωx+sinωxcosωx
=

3

2

(cos2ωx+1)+

1

2

sin2ωx
=sin(2ωx+

π

3

)+

3

2

由于：T=

2π

2ω

=π
所以：ω=1
則：f（x）=sin(2x+

π

3

)+

3

2

f（

π

6

）=sin

2π

3

+

3

2

=

3

（Ⅱ）根據函數解析式得到在區(qū)間[-

π

3

，

π

12

]上函數單調遞增，在[

π

12

，

π

3

]上函數單調遞減，
所以：f(-

π

3

)=0．，f(

π

12

)=1+

3

2

，f(

π

3

)=

3

2

所以：f（x）在閉區(qū)間[-

π

3

，

π

3

]上的最大值為：1+

3

2

最小值為：0．

點評：本題考查的知識要點：三角函數關系式的恒等變換，利用函數的周期確定函數的解析式，進一步利用函數的單調性確定函數的最值．屬于基礎題型．