Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}+bx+a}{x}$（a∈R⁺）．
（1）若函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，求b的值；
（2）在（1）的條件下求函數(shù)f（x）在x∈[2，±∞）上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)是奇函數(shù)，建立方程，即可求出b；
（2）f（x）=x+$\frac{a}{x}$，分類(lèi)討論，結(jié)合基本不等式，函數(shù)的單調(diào)性，即可求出函數(shù)的值域．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-1）=-f（1），
∴-（1-b+a）=-（1+b+a），
∴b=0；
（2）f（x）=x+$\frac{a}{x}$
a≥4時(shí)，f（x）=x+$\frac{a}{x}$≥2$\sqrt{a}$，值域?yàn)閇2$\sqrt{a}$，+∞）；
0＜a＜4時(shí)，f（x）=x+$\frac{a}{x}$≥f（2）=2+$\frac{a}{2}$，值域?yàn)閇2+$\frac{a}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性、值域，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．