Question

設函數f（x）=ax²+bx+clnx，（其中a，b，c為實常數且a＞0），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x-3．
（Ⅰ） 若函數f（x）無極值點且f'（x）存在零點，求a，b，c的值；
（Ⅱ） 若函數f（x）有兩個極值點，證明f（x）的極小值小于-

3

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x-3，建立方程組，根據即f（x）無極值點且f'（x）存在零點，可求a的值，進而可求b，c的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f ′(x)=

2ax2-ax+3-a

x

 (x＞0)，要使函數f（x）有兩個極值點，只要方程2ax²-ax+3-a=0有兩個不等正根，可得a的范圍，設兩正根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，可知當x=x₂時，有極小值f（x₂），證明f（x₂）在(

1

4

，

1

2

)上單調遞增，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：求導函數可得f ′(x)=2ax+b+

c

x

，
由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=3x-3，可得得

f(1)=0 f ′(1)=3

，
即

a+b=0 2a+b+c=3

，∴

b=-a c=3-a

．
此時f（x）=ax²-ax+（3-a）lnx，f ′(x)=2ax-a+

3-a

x

=

2ax2-ax+3-a

x

；
由f（x）無極值點且f'（x）存在零點，得a²-8a（3-a）=0（a＞0）
解得a=

8

3

，于是b=-

8

3

，c=-

1

3

．…（7分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知f ′(x)=

2ax2-ax+3-a

x

 (x＞0)，要使函數f（x）有兩個極值點，只要方程2ax²-ax+3-a=0有兩個不等正根，
那么實數a應滿足 

a2-8a(3-a)＞0 3-a＞0 a 2(2a) ＞0

，解得

8

3

＜a＜3，
設兩正根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，可知當x=x₂時，有極小值f（x₂）．
其中這里0＜x1＜

1

4

，由于對稱軸為x=

1

4

，所以

1

4

＜x2＜

1

2

，且2ax22-ax2+3-a=0，得a=

-3

2x22-x2-1

記g（x）=x²-x-lnx，(

1

4

＜x≤1)，有g′(x)=

(2x+1)(x-1)

x

≤0對x∈(

1

4

，1]恒成立，
又g（1）=0，故對x∈(

1

4

，

1

2

)恒有g（x）＞g（1），即g（x）＞0．
所以有f(x2)=ax22-ax2+(3-a)lnx2=a(x22-x2-lnx2)+3lnx2=3lnx2-

3(x22-x2-lnx2)

2x22-x2-1

(

1

4

＜x2＜

1

2

)
而f ′(x2)=

(4x2-1)(x22-x2-lnx2)

(2x22-x2-1)2

＞0對于

1

4

＜x2＜

1

2

恒成立，
即f（x₂）在(

1

4

，

1

2

)上單調遞增，故f(x2)＜f(

1

2

)=-

3

4

．…（15分）

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，考查函數的單調性，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．