Question

13．已知數(shù)列{a_n}中，a₇=4，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}+4}{7-{a}_{n}}$．
（1）試求a₈和a₆的值；用含有a_n+1的式子表示a_n；
（2）對于數(shù)列{a_n}，是否存在自然數(shù)m，使得當(dāng)n≥m時，a_n＜2；當(dāng)n＜m時，a_n＞2，若存在只證明；當(dāng)n≥m時，a_n＜2；若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₇=4，a_n+1=$\frac{{3{a_n}+4}}{{7-{a_n}}}$可解得a₆=$\frac{24}{7}$，a₈=$\frac{16}{3}$；
（2）依題意，進(jìn)一步計算可得a₉=12，a₁₀=-8，a₁₁=-$\frac{4}{3}$，由此猜想：存在自然數(shù)m=10，使得當(dāng)n≥10時，a_n＜2；當(dāng)n＜10時，a_n＞2，對前者，利用數(shù)學(xué)歸納法證明，對后者驗證，當(dāng)n=1，2，3，…，9時的情況即可．

解答 解：（1）因為a₇=4，a_n+1=$\frac{{3{a_n}+4}}{{7-{a_n}}}$
當(dāng)n=6時，解得a₆=$\frac{24}{7}$…（2分）
當(dāng)n=7時，解得a₈=$\frac{16}{3}$．…（4分）
（2）類似計算得到，a₆=$\frac{24}{7}$，a₇=4，a₈=$\frac{16}{3}$，a₉=12，a₁₀=-8，a₁₁=-$\frac{4}{3}$．…（6分）
由此猜想：
存在自然數(shù)m=10，使得當(dāng)n≥10時，a_n＜2；當(dāng)n＜10時，a_n＞2．…（7分）
證明：①首先驗證，當(dāng)n=1，2，3，…，9時，a_n＞2．
由已知條件a_n+1=$\frac{{3{a_n}+4}}{{7-{a_n}}}$解得a_n=$\frac{{7{a_{n+1}}-4}}{{{a_{n+1}}+3}}$，
然后由a₇=4出發(fā)，計算這個數(shù)列的第6項到第1項：a₆=$\frac{24}{7}$，a₅=$\frac{28}{9}$，a₄=$\frac{32}{11}$，a₃=$\frac{36}{13}$，a₂=$\frac{40}{15}$=$\frac{8}{3}$，a₁=$\frac{44}{17}$，
顯然，當(dāng)n＜10時，a_n＞2．…（9分）
②再用數(shù)學(xué)歸納法證明：n≥10時，a_n＜2．
①當(dāng)n=10時，a₁₀=-8＜2，猜想成立．…（10分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥10）時，猜想成立，即a_k＜2，
那么當(dāng)n=k+1時，有a_k+1-2=$\frac{{3{a_k}+4}}{{7-{a_k}}}$-2=$\frac{{5（{a_k}-2）}}{{7-{a_k}}}$，…（12分）
由a_k＜2，則a_k-2＜0，7-a_k＞0，
所以，a_k+1-2＜0，即a_k+1＜2成立．…（13分）
根據(jù)①、②，當(dāng)n≥10時，a_n＜2．
因此，存在自然數(shù)m=10，使得當(dāng)n≥10時，a_n＜2；當(dāng)n＜10時，a_n＞2． …（14分）
（也可求出${a_n}=2-\frac{10}{2n-19}$后證明，請參照給分）

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，突出考查推理運(yùn)算能力，考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，屬于難題．