已知a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=6．
（1）證明：
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
3
2
；
（2）求
a+c
+
b+2
的最大值．
考點(diǎn)：不等式的證明
專題：綜合題,推理和證明
分析：（1）a、b、c均為正實(shí)數(shù)，依柯西不等式有（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥（1+1+1）2，可得結(jié)論；
（2）由柯西不等式得
a+c
+
b+2
≤
12+12
•
(a+c)+(b+2)
=4，即可求
a+c
+
b+2
的最大值．
解答： （1）證明：a、b、c均為正實(shí)數(shù)，依柯西不等式有（a+b+c）（
1
a
+
1
b
+
1
c
）≥（1+1+1）2，
∴
1
a
+
1
b
+
1
c
≥
9
a+b+c
=
3
2
；
（2）解：由柯西不等式得
a+c
+
b+2
≤
12+12
•
(a+c)+(b+2)
=4．
取“=”時(shí)，a+c=b+2且a+b+c=6，
即a+c=4，b=2時(shí)，所求最大值為：4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，考查柯西不等式，正確運(yùn)用柯西不等式是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=（-1）n，a100=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知凼數(shù)f（x）=2
3
sinxcosx-sin2x+
1
2
cos2x+
1
2
，x∈R，求函數(shù)f（x）在[-
π
4
，
π
2
]上的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A（0，0），B（0，b），C（a，c），則第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是（　�。�
A、（a，b+c）
B、（-a，b+c）
C、（a，c-b）
D、（-a，c-b）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)y=
1-tan2x
1+tan2x
的最小正周期是（　　）
A、
π
4
B、
π
2
C、π
D、2π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求證：
1
2
+
1
4
+…+
1
2n
=1-
1
2n
（n是正整數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

某廠家生產(chǎn)甲、乙、丙三種樣式的杯子，每種杯子均有300ml和500ml兩種型號(hào)，某月的產(chǎn)量（單位：個(gè)）如下表所示：
型號(hào)甲樣式乙樣式丙樣式
300mlz25003000
500ml300045005000
按樣式用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的杯子中隨機(jī)的抽取100個(gè)，其中有乙樣式的杯子35個(gè)．
（Ⅰ）求z的值；
（Ⅱ）用分層抽樣的方法在甲樣式的杯子中抽取一個(gè)容量為5的樣本，從這個(gè)樣本中任取2個(gè)杯子，求至少有1個(gè)300ml的杯子的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b=
3
a=
3
c，則角B的值為（　�。�
A、30°B、60°
C、120°D、150°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

現(xiàn)給出函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+k，（A＞0，ω＞0，0≤φ≤2π），的部分圖象，求解析式．

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同步練習(xí)冊(cè)答案