Question

已知P（m，1）為拋物線C：x²=2ay（a＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為

5

4

．
（Ⅰ）求m，a的值；
（Ⅱ）設(shè)拋物線上一點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t（t＞0），過B的直線交曲線C于另一點(diǎn)A，交x軸于N，過點(diǎn)A作AB的垂線交曲線C于D，連接DB交y于M，若直線MN的斜率是AB斜率的-

1

2

倍，求t的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)拋物線的定義利用點(diǎn)P（m，1）到其焦點(diǎn)的距離求得a，拋物線方程可得，進(jìn)而把點(diǎn)P代入求得m．
（Ⅱ）由B（t，t²），設(shè)直線AB的方程為：y-t²=k（x-t），把直線AB的方程y-t²=k（x-t）代入拋物線x²=y，解得A（k-t，（k-t）²），由AD⊥AB，設(shè)直線AD的方程為y-(k-t)2=-

1

k

(x-k+t)，把y-(k-t)2=-

1

k

(x-k+t)代入代入拋物線x²=y，解得xD=t-(k+

1

k

)，由B（t，t²），D（t-（k+

1

k

），[t-（k+

1

k

）]²），則BD的方程為：

y-t2

x-t

=

[t-(k+ 1 k )]2-t2

-(k+ 1 k )

=2t-（k+

1

k

），令x=0，得到BD與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)M（0，t（k+

1

k

）-t²），由此能求出利用直線MN的斜率是AB斜率的-

1

2

倍，能求出t的最小值．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)拋物線定義，∵P到拋物線焦點(diǎn)的距離為

5

4

．
∴P（m，1）到拋物線準(zhǔn)線y=-

a

2

的距離為

5

4

．
∴1+

a

2

=

5

4

，解得a=

1

2

，
∴拋物線方程為x²=y，
將P（m，1）代入x²=y，
解得m=±1．
（Ⅱ）∵B的橫坐標(biāo)為t（t＞0），∴B（t，t²），
設(shè)直線AB的方程為：y-t²=k（x-t），
把直線AB的方程y-t²=k（x-t）代入拋物線x²=y，并整理，得
x²-kx+kt-t²=0，
解得x=k-t，或x=t（舍）
∴A（k-t，（k-t）²），
∵AD⊥AB，
∴直線AD的方程為y-(k-t)2=-

1

k

(x-k+t)，
把y-(k-t)2=-

1

k

(x-k+t)代入代入拋物線x²=y，并整理，得
kx²+x-（k-t）（1+k²-kt）=0，
解得xD=t-(k+

1

k

)，或x_D=k-t（舍）
∵B（t，t²），D（t-（k+

1

k

），[t-（k+

1

k

）]²），
∴BD的方程為：

y-t2

x-t

=

[t-(k+ 1 k )]2-t2

-(k+ 1 k )

=2t-（k+

1

k

），
令x=0，得到BD與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)M（0，t（k+

1

k

）-t²），
在直線AB的方程y-t²=k（x-t）中，
令y=0，得到直線AB與x軸的交點(diǎn)N（t-

t2

k

，0），
∴直線MN的斜率k_MN=

t(k+ 1 k )-t2-0

0-t+ t2 k

=

k2-kt+1

t-k

．
∵直線AB的斜率是k，且直線MN的斜率是AB斜率的-

1

2

倍，
∴

k2-kt+1

t-k

=-

k

2

，
整理，得k²-kt+2=0，
∴t=k+

2

k

，
由題設(shè)條件知k＞0，
∴t=k+

2

k

≥2

k• 2 k

=2

2

．
當(dāng)且僅當(dāng)k=

2

k

，即k=

2

時(shí)，tmin=2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意培養(yǎng)計(jì)算能力．