Question

19．己知橢圓的對稱中心為原點O，焦點在x軸上，橢圓上異于長軸頂點的任意點A與左右兩焦點F₁，F(xiàn)₂ 構(gòu)成的三角形中面積的最大值為$\sqrt{3}$，且點（$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在該橢圓上．
（1）求橢圓的方程：
（2）已知點A，B是橢圓上的兩動點，若OA⊥OB時，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意，$\frac{1}{2}•2c•b$=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{3}{4}}{^{2}}$=1，求出a，b，即可求橢圓的方程；
（2）利用參數(shù)表示A，B的坐標，求出|AB|²=（2cosα+2sinα）²+（$\sqrt{3}$sinα-$\sqrt{3}$cosα）²=7+（4-$\sqrt{3}$）sin2α，即可求|AB|的最小值．

解答 解：（1）由題意，$\frac{1}{2}•2c•b$=$\sqrt{3}$，$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{3}{4}}{^{2}}$=1，
∴a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)橢圓上動點的參數(shù)表達式A（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），B（2cos（α+$\frac{π}{2}$），$\sqrt{3}$sin（α+$\frac{π}{2}$）），
也即A（2cosα，$\sqrt{3}$sinα），B（-2sinα，$\sqrt{3}$cosα），
于是|AB|²=（2cosα+2sinα）²+（$\sqrt{3}$sinα-$\sqrt{3}$cosα）²=7+（4-$\sqrt{3}$）sin2α，
故最小值為$\sqrt{3-\sqrt{3}}$．

點評 本題考查橢圓方程，考查學(xué)生的計算能力，正確利用橢圓的參數(shù)方程是關(guān)鍵，屬于中檔題．