Question

8．設(shè)p：實(shí)數(shù)x滿足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命題q：實(shí)數(shù)x滿足|x-3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q為真，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．
（2）若q是p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求出p，q為真時(shí)的x的范圍，去交集即可；（2）根據(jù)q是p的充分不必要條件結(jié)合集合的包含關(guān)系，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由x²-4ax+3a²＜0，得（x-3a）（x-a）＜0，
又a＞0，所以a＜x＜3a．------（2分）
當(dāng)a=1時(shí)，1＜x＜3，------（3分）
又|x-3|＜1得2＜x＜4------（4分）
由p∧q為真．∴x滿足$\left\{{\begin{array}{l}{1＜x＜3}\\{2＜x＜4}\end{array}}\right.$即2＜x＜3．
則實(shí)數(shù)x的取值范圍是2＜x＜3．------（5分）
（2）q是p的充分不必要條件，
記A={x|a＜x＜3a，a＞0}，B={x|2＜x＜4}，
則B是A的真子集，------（7分）
∴a≤2且4≤3a．------（9分）
則實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\frac{4}{3}≤a≤2$．------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考察了復(fù)合命題的判斷，考察充分必要條件以及集合的包含關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．