已知等差數(shù)列滿足a1=1,a3=6,若對(duì)任意的n∈N*,數(shù)列{bn}滿足bn,2an+1,bn+1依次成等比數(shù)列,且b1=4.
(1)求an,bn
(2)設(shè)Sn=(-1)b1+(-1)2b2+…+(-1)nbn,n∈N*,證明:對(duì)任意的n∈N*,
【答案】分析:(1)設(shè)數(shù)列的公差d,依題意該數(shù)列的第一項(xiàng)為=1,第三項(xiàng)為,所以.由此能求出.由bn,2an+1,bn+1依次成等比數(shù)列,且b1=4.知bn•bn+1=4an+12,,n∈N*.由此能求出bn=(n+1)2
(2)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),Sn=(-1)•b1+(-1)2•b2+…+(-1)nbn=-22+32-42+52-62+72-…-n2+(n+1)2=.所以.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),=,所以,綜上所述,對(duì)任意的n∈N*
解答:解:(1)設(shè)數(shù)列的公差d,依題意該數(shù)列的第一項(xiàng)為=1,第三項(xiàng)為,
∴2=1+(3-1)d,

,
∵bn,2an+1,bn+1依次成等比數(shù)列,且b1=4.
∴bn•bn+1=4an+12
∴bn•bn+1=(n+2)2(n+1)2
=1,n∈N*
,
則cncn+1=1,∴,且cn≠0.
=,
,

∴bn=(n+1)2
(2)當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),
Sn=(-1)•b1+(-1)2•b2+…+(-1)nbn
=-22+32-42+52-62+72-…-n2+(n+1)2
=5+9+13+…+(2n+1)
=
==,

當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),
Sn=(-1)•b1+(-1)2•b2+…+(-1)nbn
=-22+32-42+52-62+72-82+…+n2-(n+1)2
=5+9+13+…+(2n-1)-(n+1)2
=
=,

綜上所述,對(duì)任意的n∈N*,
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和證明對(duì)任意的n∈N*,.解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意構(gòu)造法和分類討論思想的合理運(yùn)用.計(jì)算量大,容易出錯(cuò),要注意計(jì)算能力的培養(yǎng).
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已知等差數(shù)列滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則有(    )

A.a1+a101>0

B.a2+a100<0

C.a3+a99=0

D.a51=51

 

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(Ⅰ)求an,bn

(Ⅱ)設(shè),證明:對(duì)任意的n∈N*,

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