Question

19．點(diǎn)P到直線y=-3的距離比到點(diǎn)F（0，1）的距離大2
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡C的方程
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A（-4，4），過點(diǎn)B（4，5）的直線l交軌跡C于M，N兩點(diǎn)，直線AM，AN的斜率分別為k₁，k₂，求|k₁-k₂|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的定義，得出軌跡方程；
（Ⅱ）聯(lián)立直線MN方程與C的軌跡方程，得出M，N的坐標(biāo)關(guān)系，代入斜率公式化簡(jiǎn)|k₁-k₂|，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵點(diǎn)P到直線y=-3的距離比到點(diǎn)F（0，1）的距離大2，
∴點(diǎn)P到直線y=-1的距離等于到點(diǎn)F（0，1）的距離，
∴點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)F（0，1）為焦點(diǎn)的拋物線，方程為x²=4y．
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)B的直線方程為y=k（x-4）+5，M（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），N（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$）．
聯(lián)立拋物線，得x²-4kx+16x-20=0，
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=16k-20，
∵k₁=$\frac{{x}_{1}-4}{4}$，k₂=$\frac{{x}_{2}-4}{4}$．
∴|k₁-k₂|=$\frac{1}{4}$|x₁-x₂|=$\sqrt{{k}^{2}-4k+5}$=$\sqrt{（k-2）^{2}+1}$≥1．
∴當(dāng)k=2時(shí)，|k₁-k₂|取得最小值1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系，直線的斜率公式，屬于中檔題．