Question

14．在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且$cos2C=-\frac{1}{4}$，$0＜C＜\frac{π}{2}$．
（1）求cosC的值；
（2）當(dāng)a=2，2sinA=sinC時(shí)，求b及c的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式可得cosC．
（2）由sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$，2sinA=sinC，可得sinA．由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，可得c．cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$．sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC．可得$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$．

解答 解：（1）$cos2C=-\frac{1}{4}$，$0＜C＜\frac{π}{2}$，∴2cos²C-1=-$\frac{1}{4}$，解得cosC=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
（2）由sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∵2sinA=sinC，∴2sinA=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，可得sinA=$\frac{\sqrt{10}}{8}$．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，可得c=$\frac{2×\frac{\sqrt{10}}{4}}{\frac{\sqrt{10}}{8}}$=4．
cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=$\frac{\sqrt{10}}{8}×\frac{\sqrt{6}}{4}$+$\frac{3\sqrt{6}}{8}×\frac{\sqrt{10}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，可得b=$\frac{4×\frac{\sqrt{15}}{4}}{\frac{\sqrt{10}}{4}}$=2$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系、正弦定理、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．