Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x²-ax，對于任意實數(shù)x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，
（1）求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a最大時，關于x的方程f（x）=k|x|恰有兩個不同的根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）求導函數(shù)得：f′（x）=3x²+4x-a，
對于任意實數(shù)x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，
即3x²+4x-a≥2x²+2x-4在R上恒成立，
即x²+2x-a+4≥0在R上恒成立，
∴△=4+4a-16≤0
∴a≤3．
（2）當a=3時，f（x）=x³+2x²-3x=x（x+3）（x-1），關于x的方程f（x）=k|x|為x（x+3）（x-1）=k|x|
易知其中一個根必然是x=0，所以當x=0時方程有一個根．
要使關于x的方程f（x）=k|x|恰有兩個不同的根，只需要與y=k有一個交點
由圖可得k的取值范圍為k＞4，或k＜-3．
分析：（1）求導函數(shù)得：f′（x）=3x²+4x-a，對于任意實數(shù)x恒有f′（x）≥2x²+2x-4，即3x²+4x-a≥2x²+2x-4在R上恒成立，即x²+2x-a+4≥0在R上恒成立，從而可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a=3時，f（x）=x³+2x²-3x=x（x+3）（x-1），關于x的方程f（x）=k|x|為x（x+3）（x-1）=k|x|，易知其中一個根必然是x=0，所以當x=0時方程有一個根，要使關于x的方程f（x）=k|x|恰有兩個不同的根，只需要與y=k有一個交點，故可求k的取值范圍．
點評：本題重點考查導數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查方程根的討論，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想，綜合性強．