若對(duì)任意，，（、）有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為關(guān)于、的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿(mǎn)足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實(shí)數(shù)、的廣義“距離”:

（1）非負(fù)性:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；

（2）對(duì)稱(chēng)性:；

（3）三角形不等式:對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立.

今給出四個(gè)二元函數(shù):①；②；③；

④.能夠成為關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號(hào)是（      ）

A. ①       B. ②      C. ③     D. ④

 

【答案】

A

【解析】

試題分析：①對(duì)于函數(shù)：滿(mǎn)足非負(fù)性：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性：；

∵，對(duì)任意的實(shí)數(shù)均成立，因此滿(mǎn)足三角形不等式：．可知能夠成為關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)．

②，但是不僅時(shí)取等號(hào)，也成立，因此不滿(mǎn)足新定義：關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)；

③，若成立，則不一定成立，即不滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性；

④同理不滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)性．

綜上可知：只有①滿(mǎn)足新定義，能夠成為關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)．

故選A．

考點(diǎn)：新定義，函數(shù)的概念與表示.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
1
3
x3-mx2+（m2-4）x，x∈R．
（1）當(dāng)m=3時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程；
（2）已知關(guān)于x的方程f（x）=0有三個(gè)互不相等的實(shí)根0，α，β（α＜β），求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）在（2）條件下，若對(duì)任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥-
16
3
恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
13
x3-mx2+（m2-4）x，x∈R．已知函數(shù)f（x）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，α，β，且α＜β．若對(duì)任意的x∈[α，β]，都有f（x）≥f（1）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）的定義域分別為M，N，且M⊆N，若對(duì)任意的x∈M，都有g(shù)（x）=f（x），則稱(chēng)g（x）是f（x）的“拓展函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)=
1
3
log2x，若g（x）是f（x）的“拓展函數(shù)”，且g（x）是偶函數(shù)，則符合條件的一個(gè)g（x）的解析式是
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合條件的函數(shù)也可）
g(x)=
1
3
log2|x|（其它符合條件的函數(shù)也可）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•綿陽(yáng)二模）對(duì)于具有相同定義域D的函數(shù)f（x）和g（x），若對(duì)任意的x∈D，都有|f（x）-g（x）|≤1，則稱(chēng)f（x）和g（x）在D上是“密切函數(shù)”．給出定義域均為D={x|0≤x≤4}的四組函數(shù)如下：
①f（x）=ln（x+1），g（x）=
2x
x+2
；   ②f（x）=x3，g（x）=3x-1；
③f（x）=ex-2x（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），g（x）=2-x；④f（x）=
2
3
x-
5
8
，g（x）=
x
．
其中，函數(shù)f（x）和g（x）在D上為“密切函數(shù)”的是
①④
①④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx，（x＞0，且x≠1）
（Ⅰ）求函數(shù)r(x)=
1f(x)
的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)任意的n∈N+，都有an＞0，且a1+a2+…+a2013=2013e（e為自然對(duì)數(shù)的底），求f（a1）+f（a2）+…+f（a2013）的最小值．

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