Question

過點C（3，4）且與x軸，y軸都相切的兩個圓的半徑分別為r₁，r₂，則r₁r₂=________．

Answer 1

25
分析：由題意得：滿足與x軸，y軸都相切的圓的圓心在第一象限，設(shè)出圓心（a，a），根據(jù)切線的性質(zhì)得到半徑r=a，表示出圓的標準方程，由C在此圓上，將C的坐標代入圓的方程中，得到關(guān)于a的一元二次方程，根據(jù)r₁，r₂為此一元二次方程的兩個解，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出r₁r₂的值．
解答：由題意得：滿足與x軸，y軸都相切的圓的圓心在第一象限，
設(shè)圓心坐標為（a，a），則半徑r=a，
∴圓的方程為（x-a）²+（y-a）²=a²，
又C（3，4）在此圓上，
∴將C的坐標代入得：（3-a）²+（4-a）²=a²，
整理得：a²-14a+25=0，
∵r₁，r₂分別為a²-14a+25=0的兩個解，
∴r₁r₂=25．
故答案為：25
點評：此題考查了圓的標準方程，涉及的知識有：切線的性質(zhì)，以及韋達定理，根據(jù)題意滿足與x軸，y軸都相切的圓的圓心在第一象限，進而設(shè)出相應(yīng)圓的標準方程是解本題的關(guān)鍵．