Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項的和，n=1，2，3，…
（Ⅰ）求首項a₁與通項a_n；
（Ⅱ）設(shè)，n=1，2，3，…，證明：．

Answer 1

【答案】分析：對于（Ⅰ）首先由數(shù)列{a_n}的前n項的和求首項a₁與通項a_n，可先求出S_n-1，然后有a_n=S_n-S_n-1，公比為4的等比數(shù)列，從而求解；
對于（Ⅱ）已知，n=1，2，3，…，將a_n=4ⁿ-2ⁿ代入S_n=a_n-×2ⁿ⁺¹+，n=1，2，3，得S_n=×（4ⁿ-2ⁿ）-×2ⁿ⁺¹+=×（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ⁺¹-2）
然后再利用求和公式進行求解．
解答：解：（Ⅰ）由S_n=a_n-×2ⁿ⁺¹+，n=1，2，3，①得a₁=S₁=a₁-×4+
所以a₁=2．
再由①有S_n-1=a_n-1-×2ⁿ+，n=2，3，4，
將①和②相減得：a_n=S_n-S_n-1=（a_n-a_n-1）-×（2ⁿ⁺¹-2ⁿ），n=2，3，
整理得：a_n+2ⁿ=4（a_n-1+2^n-1），n=2，3，
因而數(shù)列{a_n+2ⁿ}是首項為a1+2=4，公比為4的等比數(shù)列，即：a_n+2ⁿ=4×4^n-1=4ⁿ，n=1，2，3，
因而a_n=4ⁿ-2ⁿ，n=1，2，3，
（Ⅱ）將a_n=4ⁿ-2ⁿ代入①得S_n=×（4ⁿ-2ⁿ）-×2ⁿ⁺¹+=×（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ⁺¹-2）
=×（2ⁿ⁺¹-1）（2ⁿ-1）
T_n==×=×（-）
所以，=-）=×（-）＜
點評：此題主要考查數(shù)列的遞推式和數(shù)列的求和，難度比較大，做題要仔細．