Question

10．當(dāng)α≠（2k+1）π，k∈Z時(shí)，等式$tan\frac{α}{2}=\frac{sinα}{1+cosα}$恒成立，我們把這個(gè)恒等式叫“半角公式”．
（1）證明上述半角公式；
（2）若α，β都是銳角，$cosα=\frac{4}{5}，cos（α+β）=\frac{5}{13}$，試求$tan\frac{β}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可得出；
（2）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式即可得出．

解答 解：（1）右邊=$\frac{sinα}{1+cosα}=\frac{{2sin\frac{α}{2}cos\frac{α}{2}}}{{1+2{{cos}^2}\frac{α}{2}-1}}=\frac{{sin\frac{α}{2}}}{{cos\frac{α}{2}}}=tan\frac{α}{2}$=左邊，
（2）∵α，β都是銳角，$cosα=\frac{4}{5}，cos（α+β）=\frac{5}{13}$⇒$sinα=\frac{3}{5}$，
∵0＜α+β＜π⇒$sin（α+β）=\frac{12}{13}$，
∴sinβ=sin（α+β-α）=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{12}{13}•\frac{4}{5}-\frac{5}{13}•\frac{3}{5}=\frac{33}{65}$，
∴$cosβ=\sqrt{1-{{（\frac{33}{65}）}^2}}=\frac{56}{65}$，
∴$tan\frac{β}{2}=\frac{sinβ}{1+cosβ}=\frac{{\frac{33}{65}}}{{1+\frac{56}{65}}}=\frac{33}{121}$=$\frac{3}{11}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了倍角公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．