Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F1 ， F2 ， 且|F1F2|=2，點(diǎn)（1， ）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F1的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且△AF2B的面積為 ，求以F2為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)橢圓的方程為 ，由題意可得：

橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0）．

∴ ．

∴a=2，又c=1，b2=4﹣1=3，

故橢圓的方程為 ．

（2）解：當(dāng)直線l⊥x軸，計(jì)算得到：

， ，不符合題意．

當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），

由 ，消去y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0

顯然△＞0成立，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

則 ，

又

即 ，

又圓F2的半徑 ，

所以 ，

化簡，得17k4+k2﹣18=0，

即（k2﹣1）（17k2+18）=0，解得k=±1

所以， ，

故圓F2的方程為：（x﹣1）2+y2=2．

【解析】（1）先設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)題設(shè)中的焦距求得c和焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)（1， ）到兩焦點(diǎn)的距離求得a，進(jìn)而根據(jù)b= 求得b，得到橢圓的方程．（2）先看當(dāng)直線l⊥x軸，求得A，B點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求得△AF2B的面積與題意不符故排除，進(jìn)而可設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1）與橢圓方程聯(lián)立消y，設(shè)A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），根據(jù)韋達(dá)定理可求得x1+x2和x1x2 ， 進(jìn)而根據(jù)表示出|AB|的距離和圓的半徑，求得k，最后求得圓的半徑，得到圓的方程．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程)，還要掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．