Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P（x，y）到定點(diǎn)F（1，0）的距離比它到定直線x=-2的距離小1．
（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）在軌跡C上是否存在兩點(diǎn)M、N，使這兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=kx+3對(duì)稱，若存在，試求出k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意先轉(zhuǎn)化為：動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)和它到直線x=-1的距離相等，再根據(jù)拋物線的定義即可求出．
（2）在軌跡C上若存在兩點(diǎn)M、N，則滿足k_MN×k=-1，MN的中點(diǎn)為Q（x_°，y_°）在直線l上，即y₀=kx₀+3；又由Q（x₀，y₀）在拋物線的內(nèi)部，則y02＜4x0，代入解出即可．

解答：解（1）由題意可知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)和它到直線x=-1的距離相等，由拋物線定義知點(diǎn)P的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，以直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴

p

2

=1⇒p=2，
∴軌跡方程為y²=4x．
（2）易知k=0時(shí)不符合題意，應(yīng)舍去．
當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)點(diǎn)M(

y 2 1

4

，y1)，N(

y 2 2

4

，y2)關(guān)于直線l：y=kx+3對(duì)稱，MN的中點(diǎn)為Q（x_°，y_°），則

y2-y1

y 2 2 4 - y 2 1 4

=-

1

k

⇒y1+y2=-4k⇒y°=-2k，
∵Q（x₀，y₀）在直線l上，
∴y₀=kx₀+3，∴x0=-

2k+3

k

．
∵點(diǎn)Q在拋物線的內(nèi)部，∴y02＜4x0．
即(-2k)2＜4×(-

2k+3

k

)⇒

k3+2k+3

k

＜0⇒

(k+1)(k2-k+3)

k

＜0．
∵k2-k+3=(k-

1

2

)2+

11

4

＞0恒成立，∴

k+1

k

＜0，
∴k（k+1）＜0，解得-1＜k＜0．
∴k的取值范圍是（-1，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的定義及拋物線上是否存在關(guān)于某直線對(duì)稱的兩點(diǎn)問題，充分理解定義及會(huì)利用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．