Question

已知函數(shù)f（x）=x²-mx（m∈R），g（x）=lnx．
（1）記h（x）=f（x）-g（x），當m=1時，求函數(shù)h（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意有意義的x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范圍；
（3）求證：當m＞1時，方程f（x）=g（x）有兩個不等的實根．

Answer 1

（1）當m=1時，h（x）=x²-x-lnx（x＞0），，…（3分）
當0＜x＜1時，h'（x）＜0，∴h（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，1）；…（4分）
當x＞1時，h'（x）＞0，∴h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（1，+∞）．…（5分）
（2）f（x）＞g（x）等價于x²-mx＞lnx，其中x＞0，∴…（6分）
令，得，…（7分）
當0＜x＜1時，t'（x）＜0，當x＞1時，t'（x）＞0，
∴m＜t（x）_min=t（1）=1，
∴m＜1…（10分）
（3）設h（x）=f（x）-g（x）=x²-mx-lnx，，其中x＞0．
∵，等價于2x²-mx-1=0，
此方程有且只有一個正根為，…（11分）
且當x∈（0，x₀）時，h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減；
當x∈（x₀，+∞）時，h'（x）＞0，
∴h（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增；
∴函數(shù)只有一個極值h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀．…（12分）
當m＞1時，，關于m在（1，+∞）遞增，
∴x₀∈（1，+∞），lnx₀＞0．…（13分）
∵m＞1，∴∴，…（14分）
h（x）_min=h（x₀）=x₀²-mx₀-lnx₀=x₀（x₀-m）-lnx₀＜0，…（15分）
當m＞1時，方程f（x）=g（x）有兩個不等的實根．…（16分）
分析：（1）先求出m=1時，h（x）=x²-x-lnx（x＞0），再求出，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意有意義的x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，即x²-mx＞lnx，其中x＞0，用分離常數(shù)的思想，得出在x＞0恒成立，問題轉(zhuǎn)化為求最小值，令，求導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性，求出它的最小值，即可求出m的取值范圍；
（3）構(gòu)造新函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=x²-mx-lnx，則研究f（x）=g（x）有兩個不等的實根問題轉(zhuǎn)化為h（x）有兩個零點問題，下可以采取求出h（x）的導數(shù)，研究出函數(shù)的極值，再根據(jù)m＞1研究極值的符號，確定函數(shù)有幾個零點，從而證明f（x）=g（x）兩個不等的實根
點評：本題考查導數(shù)在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，判斷出函數(shù)的最值，本題第二小題是一個恒成立的問題，恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解，本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題，求出最值再判斷出參數(shù)的取值．本題運算量過大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導致解題失敗．