Question

20．已知：∠ABC為直角三角形，∠A=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a，b，c，AD⊥BC，若沿AB及AC方向的兩個力$\overline{AP}$，$\overline{AQ}$的大小分別為$\frac{1}{c}$，$\frac{1}$．
①試求$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$的大小            
②求證：$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$的方向與$\overline{AD}$的方向相同．

Answer 1

分析 ①把向量$\overline{AP}$，$\overline{AQ}$分別用三角形的邊長及$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，求出$（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}）^{2}$，則$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$的大小可求；
②由已知可得$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，然后證明（$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$）•$\overrightarrow{BC}$=0得答案．

解答 ①解：由題意可得：$\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{{c}^{2}}，\overrightarrow{AQ}=\frac{\overrightarrow{AC}}{^{2}}$，
∴$（\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}）^{2}=（\frac{\overrightarrow{AB}}{{c}^{2}}+\frac{\overrightarrow{AC}}{^{2}}）^{2}$=$\frac{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}{{c}^{4}}+2\frac{1}{{c}^{2}^{2}}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{^{4}}$
=$\frac{1}{{c}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}+^{2}}$．
∴$|\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{AQ}|=\sqrt{\frac{{a}^{2}}{{c}^{2}+^{2}}}=\frac{a}{{c}^{2}+^{2}}\sqrt{{c}^{2}+^{2}}$；
②證明：∵AD⊥BC，∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$．
又（$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$）•$\overrightarrow{BC}$=（$\frac{\overrightarrow{AB}}{{c}^{2}}+\frac{\overrightarrow{AC}}{^{2}}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）
=$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{{c}^{2}}-\frac{|\overrightarrow{AB}{|}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{|\overrightarrow{AC}{|}^{2}}{^{2}}-\frac{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}}{^{2}}$
=$-\frac{{c}^{2}}{{c}^{2}}+\frac{^{2}}{^{2}}=0$．
∴$\overline{AP}$+$\overline{AQ}$的方向與$\overline{AD}$的方向相同．

點評 本題考查向量幾何合中的應(yīng)用，考查了向量方向上的單位向量，考查向量加法、減法的三角形法則，是中檔題．