Question

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，求的內(nèi)切圓半徑的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意列出待定系數(shù)的方程組，即可求得方程；（2）設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，

易得的周長(zhǎng)為，所以，因此最大，就最大. 把分解為和,從而得到，整理方程組， 求出兩根和與兩根既即得到面積與的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)換元，利用均值不等式即可求得的最大值，此時(shí).

試題解析：（1）由題意可得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分

解得．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分

（2）設(shè)，設(shè)的內(nèi)切圓的半徑為，

因?yàn)?/span>的周長(zhǎng)為，，

因此最大，就最大．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

，

由題意知，直線的斜率不為零，可設(shè)直線的方程為，

由得，

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

又因直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，

故，即，則

．．．．．．．．．．．．10分

令，則，

．

令，由函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，

即當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

因此有，所以，

即當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，

故當(dāng)直線的方程為時(shí)，內(nèi)切圓半徑的最大值為．．．．．．．．．．．12分