Question

已知函數f（x）=x²-1與函數g（x）=alnx（a≠0）．
（I）若f（x），g（x）的圖象在點（1，0）處有公共的切線，求實數a的值；
（II）設F（x）=f（x）-2g（x），求函數F（x）的極值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先判定點（1，0）與函數f（x），g（x）的圖象的位置關系，然后分別求出在x=1處的導數，根據函數f（x），g（x）的圖象在點（1，0）處有公共的切線，建立等量關系，求出a的值；
（II）先求出F（x）的解析式和定義域，然后在定義域內研究F（x）的導函數，討論a的正負，分別判定F'（x）=0的值附近的導數符號，確定極值．
解答：解：（I）因為f（1）=0，g（1）=0，
所以點（1，0）同時在函數f（x），g（x）的圖象上（1分）
因為f（x）=x²-1，g（x）=alnx，f'（x）=2x，（3分）（5分）
由已知，得f'（1）=g'（1），所以，即a=2（6分）

（II）因為F（x）=f（x）-2g（x）=x²-1-2alnx（x＞0）（7分）
所以（8分）
當a＜0時，因為x＞0，且x²-a＞0，所以F'（x）＞0對x＞0恒成立，
所以F（x）在（0，+∞）上單調遞增，F（x）無極值（10分）
當a＞0時，令F'（x）=0，解得（舍）（11分）
所以當x＞0時，F'（x），F（x）的變化情況如下表：
（13分）
所以當時，F（x）取得極小值，且．（14分）
綜上，當a＜0時，函數F（x）在（0，+∞）上無極值；
當a＞0時，函數F（x）在處取得極小值a-1-alna．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，公切線等有關基礎知識，考查空運算求解能力、推理論證能力，考查分類討論的思想，屬于中檔題．