Question

10．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若數(shù)列{log${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n}是公差為-1的等差數(shù)列，且a₂+2是a₁，a₃的等差中項．
（1）證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若T_n是數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n項和，若T_n＜M恒成立，求實數(shù)M的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{log${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n}是公差為-1的等差數(shù)列，可得log${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$a₁-（n-1），可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=3^n-1．即可證明數(shù)列{a_n}是以3為公比的等比數(shù)列．由a₂+2是a₁，a₃的等差中項，可得2（a₂+2）=a₁+a₃，解得a₁．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．可得T_n，進而得出M的取值范圍．

解答 （1）證明：∵數(shù)列{log${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n}是公差為-1的等差數(shù)列，∴l(xiāng)og${\;}_{\frac{1}{3}}$a_n=$lo{g}_{\frac{1}{3}}$a₁-（n-1），∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=3^n-1．
∴n≥2時，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{{3}^{n-1}}{{3}^{n-2}}$=3，數(shù)列{a_n}是以3為公比的等比數(shù)列．
∴a₂=3a₁，a₃=9a₁．
∵a₂+2是a₁，a₃的等差中項，∴2（a₂+2）=a₁+a₃，
∴2（3a₁+2）=a₁+9a₁，解得a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是以3為公比，1為首項的等比數(shù)列．
∴a_n=3^n-1．
（2）解：$\frac{1}{{a}_{n}}$=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∴T_n=$\frac{1-（\frac{1}{3}）^{n}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]$．
∵T_n＜M恒成立，∴$M≥\frac{3}{2}$．
∴實數(shù)M的取值范圍是$[\frac{3}{2}，+∞）$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義通項公式及其求和公式、數(shù)列的單調(diào)性、對數(shù)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．