Question

（本小題滿分14分）

若一個數(shù)列各項取倒數(shù)后按原來的順序構成等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列為調和數(shù)列．已知數(shù)列是調和數(shù)列，對于各項都是正數(shù)的數(shù)列，滿足．
（Ⅰ）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）把數(shù)列中所有項按如圖所示的規(guī)律排成一個三角形數(shù)表，
當時，求第行各數(shù)的和；
（Ⅲ）對于（Ⅱ）中的數(shù)列，若數(shù)列滿足
，求證：數(shù)列為等差數(shù)列.

Answer 1

（Ⅰ）證明：因為，且數(shù)列中各項都是正數(shù)，
所以 ．
設，               ①
因為數(shù)列是調和數(shù)列，故，．
所以．                                 ②
由①得，
代入②式得，即.
故. 所以數(shù)列是等比數(shù)列．    ………………………………5分
（Ⅱ）設的公比為，則，即．由于，故．
于是．
注意到第行共有個數(shù)，
所以三角形數(shù)表中第1行至第行共含有個數(shù).
因此第行第1個數(shù)是數(shù)列中的第項.
故第行第1個數(shù)是，
所以第行各數(shù)的和為．  …………10分
（Ⅲ）由 ，得，
即，所以，        ①
                        ②
②—① 得 ，
即，  ③
，  ④
④-③ 得 ，即.
所以為等差數(shù)列．           ………………………………………………14分

略