Question

13．已知點(diǎn)（-$\sqrt{2}$，0）到雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的距離為$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• D． $\sqrt{5}$+1

Answer 1

分析 求得雙曲線的一條漸近線方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得b=$\frac{1}{3}$a，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{a}$x，
由題意可得$\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
化為b²=$\frac{1}{9}$a²，由c²=a²+b²，
可得c²=$\frac{10}{9}$a²，即c=$\frac{\sqrt{10}}{3}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，考查雙曲線的漸近線方程及運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．