Question

4．已知拋物線y²=2px的焦點F（1，0），過F作直線l交拋物線于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，如圖所示，A在x軸上方．
（1）若|AB|=8時，求直線l的傾斜角；
（2）設P（-1，0），求證：∠APQ=∠CPQ；
（3）設Q（2，0），AQ的延長線交拋物線于C，設BC的中點為D，當直線DF在y軸上的截距為m，且m∈（0，+∞），求y₁取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設l：y=k（x-1），與y²=4x，消去x得${y}^{2}-\frac{4}{k}y-4=0$，由韋達定理和橢圓弦長公式能求出直線l的方程．
（2）由y_Ay_B=-4，和得k_PA+k_PB=0，證明直線PA，PB的斜率之和為0，由此能證明：∠APQ=∠CPQ．
（3）由（1）得C（$\frac{16}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-8}{{y}_{A}}$），B（$\frac{4}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-4}{{y}_{A}}$），從而D（$\frac{10}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-6}{{y}_{A}}$），DF：y=$\frac{6{y}_{A}}{{{y}_{A}}^{2}-10}$（x-1），由此能求出y₁取值范圍．

解答 （1）解：拋物線y²=2px的焦點F（1，0），拋物線的方程為y²=4x
由直線與拋物線有兩個不同交點知直線l的斜率不為零，
當直線l的斜率存在且不為零時，設l：y=k（x-1），
與y²=4x，消去x得${y}^{2}-\frac{4}{k}y-4=0$，
∴y_Ay_B=-4，y_A+y_B=$\frac{4}{k}$，
當l斜率不存在時，y_Ay_B=-4，∴y_Ay_B=-4，
|AB|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|y₁-y₂|=8，
解得k=±1，
∴直線l的方程為：y=x-1或y=-x+1，直線l的傾斜角為45°或135°．
（2）證明：∵y_Ay_B=-4，
∴k_PA+k_PB=$\frac{{y}_{A}}{{x}_{A}+1}+\frac{{y}_{B}}{{x}_{B}+1}$=$\frac{（{y}_{A}+{y}_{B}）（1+\frac{{y}_{A}{y}_{B}}{4}）}{（{x}_{A}+1）（{x}_{B}+1）}$=0，
∴直線PA，PB的斜率之和為0，
∴∠APQ=∠CPQ；
（3）解：由（1）得C（$\frac{16}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-8}{{y}_{A}}$），B（$\frac{4}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-4}{{y}_{A}}$），
∴D（$\frac{10}{{{y}_{A}}^{2}}，\frac{-6}{{y}_{A}}$），∴DF：y=$\frac{6{y}_{A}}{{{y}_{A}}^{2}-10}$（x-1），
令x=0，得-$\frac{6{y}_{A}}{{{y}_{A}}^{2}-10}$∈（0，+∞），∴y_A∈（-∞，-4）∪（0，4），
∴y_A取值范圍是（-∞，-4）∪（0，4），即y₁取值范圍是（-∞，-4）∪（0，4）．

點評 本題考查直線方程的求法，考查角相等的證明，考查點的縱坐標的取值范圍的求法，難度大．