Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx（x∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點x=3處的切線與直線x+24y+1=0垂直，函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求函數(shù)f（x）的解析式．并確定函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）若a=1，且函數(shù)f（x）在[-1，1]上減函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（3），f′（1），得到關(guān)于a，b的方程組，解出即可；
（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，問題轉(zhuǎn)化為b≤-3x²在[-1，1]上恒成立，求出b的范圍即可．

解答 解：（1）已知函數(shù)f（x）=ax³+bx（x∈R），
∴f'（x）=3ax²+b．
又函數(shù)f（x）圖象在點x=3處的切線與直線c垂直，
且函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴f'（3）=27a+b=21，
且f'（1）=3a+b=0，計算得出a=1，b=-3．
∴f（x）=x³-3x令f'（x）=3x²-3≤0得：-1≤x≤1，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-1，1]．
（2）當(dāng)a=1時，f（x）=x³+bx（x∈R），
又函數(shù)f（x）在[-1，1]上是減函數(shù)，
∴f'（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立，
即b≤-3x²在[-1，1]上恒成立，∴b≤-3，
當(dāng)b=-3時，f′（x）不恒為0，
∴b≤-3．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．