如圖，設(shè)橢圓動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限.
（１）已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；
（２）若過原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最大值為.

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）詳見解析．

解析試題分析：（1）已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，由已知橢圓動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，可設(shè)出直線的方程為，結(jié)合橢圓方程，得，消去得，，令，得，即，代入原式得點(diǎn)的坐標(biāo)為，再由點(diǎn)在第一象限，得，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）點(diǎn)到直線的距離的最大值為，由直線過原點(diǎn)且與垂直，得直線的方程為，利用點(diǎn)到直線距離公式可得，即，由式子特點(diǎn)，需消去即可，注意到，代入即可證明．
（1）設(shè)直線的方程為，由，消去得，，由于直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（2）由于直線過原點(diǎn)，且與垂直，故直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，整理得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7e/8/avg9d1.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為.
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，點(diǎn)單直線距離，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何得基本思想方法，基本不等式應(yīng)用等綜合解題能力。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在軸上.
（1）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；
（2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上的第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸與點(diǎn)，并且，證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)．求證：
(1)為定值；
(2) 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B.已知=.
(1)求橢圓的離心率；
(2)設(shè)P為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線段PB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)的直線與該圓相切與點(diǎn)M，=.求橢圓的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為.
（1）求軌跡為的方程；
（2）設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡恰好有一個(gè)公共點(diǎn)，兩個(gè)公共點(diǎn)，三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)的相應(yīng)取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，左右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，拋物線分別以A,B為焦點(diǎn)，其頂點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，與相交于直線上一點(diǎn)P.
（1）求橢圓C及拋物線的方程；
（2）若動(dòng)直線與直線OP垂直，且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N，已知點(diǎn)，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，已知兩條拋物線和，過原點(diǎn)的兩條直線和，與分別交于兩點(diǎn)，與分別交于兩點(diǎn).
（1）證明：
（2）過原點(diǎn)作直線（異于，）與分別交于兩點(diǎn).記與的面積分別為與,求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的兩焦點(diǎn)分別為，長軸長為6，
⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
⑵已知過點(diǎn)（0，2）且斜率為1的直線交橢圓C于A 、B兩點(diǎn),求線段AB的長度。.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖為橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，D，E是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的離心率，的面積為.若點(diǎn)在橢圓C上，則點(diǎn)稱為點(diǎn)M的一個(gè)“橢圓”，直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的“橢圓”分別為P，Q.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）問是否存在過左焦點(diǎn)的直線，使得以PQ為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

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同步練習(xí)冊(cè)答案