Question

在棱長為1的正方體內(nèi)，有兩球相外切，并且又分別與正方體內(nèi)切．
（1）以正方體每個面的中心為頂點(diǎn)構(gòu)成一個八面體，求該八面體的體積．
（2）求兩球半徑之和．
（3）球的半徑是多少時，兩球體積之和最小？

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體,球的體積和表面積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）八面體分成兩個正四棱錐，求出底面面積，然后求出體積即可．
（2）利用ABCD為過球心的對角面，即可求兩球半徑之和．
（3）表示出兩球的體積之和，利用配方法，求兩球體積之和最小．

解答： 解：（1）將正方體的六個面的中心連接起來，構(gòu)成一個八面體，分成兩個正四棱錐，底面面積為：

1

2

，高為

1

2

，一個正四棱錐的體積為：

1

3

×

1

2

×

1

2

=

1

12

，
所以這個八面體的體積是V=

1

6

；
（2）如圖，ABCD為過球心的對角面，AC=

3

，

設(shè)兩球半徑為R、r，則有R+r+

3

（R+r）=

3

，
所以R+r=

3- 3

2

；
（2）設(shè)兩球的體積之和為V，
則V=

4

3

π（R³+r³）=

4

3

π•

3- 3

2

[3R²-

3(3- 3 )

2

R+（

3- 3

2

）²]，
所以當(dāng)R=

3- 3

4

時，V有最小值．

點(diǎn)評：本題是基礎(chǔ)題，考查棱錐的體積的求法，正方體的內(nèi)接體的知識，解題關(guān)鍵在八面體轉(zhuǎn)化為兩個正四棱錐，是�？碱}型．