Question

已知直線l與曲線f（x）=sinx+cos（π-x）-

x

2

（x∈[0，π]）相切，則直線l的斜率的最小值為

 

．

Answer 1

分析：先把f（x）利用誘導公式化簡后，求出f（x）的導函數(shù)，然后把導函數(shù)利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡為一個角的正弦函數(shù)，由x的范圍，得到x+

π

4

的范圍，進而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象得到sin（x+

π

4

）的最小值即可得到導函數(shù)的最小值即為切線l的斜率的最小值．

解答：解：由f(x)=sinx+cos(π-x)-

x

2

=sinx-cosx-

x

2

，得到：
f′（x）=cosx+sinx-

1

2

=

2

（

2

2

cosx+

2

2

sinx）-

1

2

=

2

sin（

π

4

+x）-

1

2

，
由x∈[0，π]，得到x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]，
則sin（

π

4

+x）∈[-

2

2

，1]，
當x+

π

4

=

5π

4

即x=π時，f′（x）的最小值為-

3

2

所以直線l的斜率的最小值為-

3

2

．
故答案為：-

3

2

點評：此題考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，靈活運用兩角和的正弦函數(shù)公式化簡求值，掌握正弦函數(shù)值域的求法，是一道中檔題．