Question

【題目】已知拋物線的焦點為，圓與軸的一個交點為，圓的圓心為，為等邊三角形.

（1）求拋物線的方程

（2）設圓與拋物線交于、兩點，點為拋物線上介于、兩點之間的一點，設拋物線在點處的切線與圓交于、兩點，在圓上是否存在點，使得直線、均為拋物線的切線，若存在求點坐標（用、表示）；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）存在圓上一點滿足、均為為拋物線的切線，詳見解析.

【解析】

（1）將圓的方程表示為標準方程，得出其圓心的坐標，求出點的坐標，求出拋物線的焦點的坐標，然后由為等邊三角形得出為圓的半徑可求出的值，進而求出拋物線的方程；

（2）設、，設切線、的方程分別為和，并寫出拋物線在點的切線方程，設，并設過點的直線與拋物線相切，利用可求出、的表達式，從而可用表示直線、，然后求出點的坐標，檢驗點的坐標滿足圓的方程，即可得出點的存在性，并得出點的坐標.

（1）圓的標準方程為，則點，拋物線的焦點為，

為等邊三角形，則，即，解得，

因此，拋物線；

（2）設、.過點、作拋物線的兩條切線（異于直線）交于點，并設切線，，

由替換法則，拋物線在點處的切線方程為，

即，記，①

設過點的直線與拋物線相切，

代入拋物線方程，得，

，即，，，

由①可得，，，②，同理可得，，

切線，，

聯(lián)立兩式消去可得，，③

代入可得，

代入②有，，

聯(lián)立與圓可得，，

，

分別代入③、④可得，，

，

即切線、的交點在圓上，

故存在圓上一點，滿足、均為拋物線的切線.