Question

已知橢圓 經過點，且其右焦點與拋物線的焦點重合，過點且與坐標軸不垂直的直線與橢圓交于兩點．
（1）求橢圓的方程；
（2）設O為坐標原點，線段上是否存在點，使得？
若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由；
（3）過點且不垂直于軸的直線與橢圓交于兩點，點關于軸的對稱點為，
試證明：直線過定點．

Answer 1

（1）
（2）存在，
（3）詳見解析

解：（1）由題意，得： 
所以 ， 解，得 ，所以橢圓的方程為： ；
（2）設直線 的方程為： ，代入，得：
 
 恒成立.
設線段的中點為 ，
則 ，
由 得： ，
所以直線 為直線 的垂直平分線，
直線的方程為： ，
令 得：點的橫坐標，
因為， 所以，所以.
所以線段 上存在點 使得，其中.
證明：設直線 的方程為：，代入，得：
，
由，得： ，
設 ，則
 ，
則直線的方程為 ，
令 得： 
 ，
所以直線 過定點 .