【題目】已知函數(shù),為的導(dǎo)數(shù),函數(shù)在處取得最小值.
(1)求證:;
(2)若時(shí),恒成立,求的取值范圍.
【答案】(1)見解析; (2).
【解析】
(1)對求導(dǎo),令,求導(dǎo)研究單調(diào)性,分析可得存在使得,即,即得證;
(2)分,兩種情況討論,當(dāng)時(shí),轉(zhuǎn)化利用均值不等式即得證;當(dāng),有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,分析可得的最小值為,分,討論即得解.
(1)由題意,
令,則,知為的增函數(shù),
因?yàn)?/span>,,
所以,存在使得,即.
所以,當(dāng)時(shí),為減函數(shù),
當(dāng)時(shí),為增函數(shù),
故當(dāng)時(shí),取得最小值,也就是取得最小值.
故,于是有,即,
所以有,證畢.
(2)由(1)知,的最小值為,
①當(dāng),即時(shí),為的增函數(shù),
所以,
,
由(1)中,得,即.
故滿足題意.
②當(dāng),即時(shí),有兩個(gè)不同的零點(diǎn),,
且,即,
若時(shí),為減函數(shù),(*)
若時(shí),為增函數(shù),
所以的最小值為.
注意到時(shí),,且此時(shí),
(ⅰ)當(dāng)時(shí),,
所以,即,
又
,
而,所以,即.
由于在下,恒有,所以.
(ⅱ)當(dāng)時(shí),,
所以,
所以由(*)知時(shí),為減函數(shù),
所以,不滿足時(shí),恒成立,故舍去.
故滿足條件.
綜上所述:的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2016高考新課標(biāo)II,理15)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓()的離心率為,圓與軸正半軸交于點(diǎn),圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn),試判斷是否為定值?若為定值,求出該定值;若不是定值,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓,、為橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線,過點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點(diǎn),當(dāng)最小時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著科學(xué)技術(shù)的飛速發(fā)展,網(wǎng)絡(luò)也已經(jīng)逐漸融入了人們的日常生活,網(wǎng)購作為一種新的消費(fèi)方式,因其具有快捷、商品種類齊全、性價(jià)比高等優(yōu)勢而深受廣大消費(fèi)者認(rèn)可.某網(wǎng)購公司統(tǒng)計(jì)了近五年在本公司網(wǎng)購的人數(shù),得到如下的相關(guān)數(shù)據(jù)(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次類推;y表示人數(shù)):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(萬人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)試根據(jù)表中的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程,并預(yù)測到哪一年該公司的網(wǎng)購人數(shù)能超過300萬人;
(2)該公司為了吸引網(wǎng)購者,特別推出“玩網(wǎng)絡(luò)游戲,送免費(fèi)購物券”活動(dòng),網(wǎng)購者可根據(jù)拋擲骰子的結(jié)果,操控微型遙控車在方格圖上行進(jìn). 若遙控車最終停在“勝利大本營”,則網(wǎng)購者可獲得免費(fèi)購物券500元;若遙控車最終停在“失敗大本營”,則網(wǎng)購者可獲得免費(fèi)購物券200元. 已知骰子出現(xiàn)奇數(shù)與偶數(shù)的概率都是,方格圖上標(biāo)有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遙控車開始在第0格,網(wǎng)購者每拋擲一次骰子,遙控車向前移動(dòng)一次.若擲出奇數(shù),遙控車向前移動(dòng)一格(從到)若擲出偶數(shù)遙控車向前移動(dòng)兩格(從到),直到遙控車移到第19格勝利大本營)或第20格(失敗大本營)時(shí),游戲結(jié)束。設(shè)遙控車移到第格的概率為,試證明是等比數(shù)列,并求網(wǎng)購者參與游戲一次獲得免費(fèi)購物券金額的期望值.
附:在線性回歸方程中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】每年3月21日是世界睡眠日,良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎(chǔ).為了做好今年的世界睡眠日宣傳工作,某社區(qū)從本轄區(qū)內(nèi)同一年齡層次的人員中抽取了100人,通過問詢的方式得到他們在一周內(nèi)的睡眠時(shí)間(單位:小時(shí)),并繪制出如右的頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求這100人睡眠時(shí)間的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,結(jié)果精確到個(gè)位);
(Ⅱ)由直方圖可以認(rèn)為,人的睡眠時(shí)間近似服從正態(tài)分布,其中近似地等于樣本平均數(shù),近似地等于樣本方差,.假設(shè)該轄區(qū)內(nèi)這一年齡層次共有10000人,試估計(jì)該人群中一周睡眠時(shí)間位于區(qū)間(39.2,50.8)的人數(shù).
附:.若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下面左圖,在直角梯形中,,,,,,點(diǎn)在上,且,將沿折起,得到四棱錐(如下面右圖).
(1)求四棱錐的體積的最大值;
(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,數(shù)列的通項(xiàng)公式為.設(shè),若數(shù)列的最大項(xiàng)為,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】鳳鳴山中學(xué)的高中女生體重 (單位:kg)與身高(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(),用最小二乘法近似得到回歸直線方程為,則下列結(jié)論中不正確的是( )
A.與具有正線性相關(guān)關(guān)系
B.回歸直線過樣本的中心點(diǎn)
C.若該中學(xué)某高中女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg
D.若該中學(xué)某高中女生身高為160cm,則可斷定其體重必為50.29kg.
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